Ici, on considère des ondesse propageant dans le vide.

Définition

\(\triangleright\) Définition des ondes électromagnétiques

Les ondes électrogmagnétiques sont définies par l'équation suivante:
$${{\Delta \vec E-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=0}}$$
Ces ondes se deplacent à la vitesse de la lumière \(c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0} }\)
:
Trouver une équation d'onde à partir des équations de Maxwell
1
Comme nous sommes dans le vide, on a:

• \(\vec D=\epsilon_0 \vec E\) (Induction électrique)
• \(\vec H=\mu_0\vec H\) (Induction magnétique)

De plus, dans le vide, il n'y a pas de courant (\(\rho=0\) et \(\vec j=0\))
2
Par conséquent, les Equations de Maxwell deviennent:

• \(\vec{rot}(\vec E)=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\)
• \(div(\vec E)=0\)
• \(\vec{rot}(\vec B)=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}\)
• \(div(\vec B)=0\)

3
On cherche maintenant une équation d'onde du type de l'Equation d'Alembert:
$$\vec{rot}(\vec{rot}(\vec E))=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$
$$\vec{grad}(div(\vec E))-\Delta\vec E-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=0$$
Par identification:
$$\mu_0\epsilon_0=\frac{1}{v^2}\implies v=\frac 1{\sqrt{\mu_0\epsilon_0} }$$
Cette vitesse est enfaîte le vitesse de la lumière!

Ondes planes progressives

Parmi les équations de Maxwell on trouve des ondes du type des Ondes planes

Propriétés

\(\triangleright\) Polarisation d'une onde électromagnétique

Le vecteur \(\vec E_0\) indique la Polarisation d'une onde de \(\vec E\).
Ici, cette polarisation est rectiligne.

\(\triangleright\) Périodicités d'une onde électromagnétique plane

Il y a deux périodicités:

• Temporelle: \(T={{\frac{2\pi}{\omega}=\frac 1\nu}}\)
• Spatiale: \(\lambda={{\frac{2\pi}{||\vec k||}=c.T}}\)

Avec:

• \(\vec k\): le vecteur d'onde
• \(\omega\): la pulsation
• \(\nu\): la fréquence
• \(c\): la célérité de l'onde

Vecteur de Poynting

L'étude des ondes électromagnétique introduit le vecteur \(\vec P\), appelé le Vecteur de Poynting

Energie de l'onde

\(\triangleright\) Energie d'une onde plane électromagnétique

$$\lt \vec P\gt ={{c \,\,\lt w_e\gt _T\vec u}}$$
Avec:

• \(w_e\): Energie électrostatique

Le bilan de l'énergie électromagnétique peut s'écrire:
$$\frac{\partial w_{em} }{\partial t}=-\vec j.\vec E-div(\vec P)$$
$$w_{T,em}={{\iint -\vec j.\vec E - \iint \vec P.d\vec S}}$$
Avec:

• \(\iint \vec P.d\vec S\): l'energie rayonnée
• \(\iint - \vec j.\vec E\): l'enrgie dissipé par effet Joule

\(\triangleright\) Propriété caractéristique d'une onde électromagnétique

$${{\mu_0\epsilon_0c^2}}={{1}}$$